مقدمه ای ساده برای اندازه گیری های مکرر ANOVA

  • فرضیه صفر
  • مفروضات
  • مثال
  • فرمول های اساسی _ اندازه گیری های مکرر ANOVA
  • آزمونهای تعقیبی

فرضیه صفر

فرضیه صفر برای اندازه گیری مکرر ANOVA این است که (+) 3 تا متغیرهای متریک در برخی از جامعه ها دارای میانگین یکسانی هستند.

متغیرها روی افراد مشابه  اندازه گیری می شوند بنابراین ما به دنبال تأثیرات درون گروهی هستیم (تفاوت درمیان میانگین ها). این ایده اساسی همچنین به عنوان نمونه های وابسته ، زوجی یا مرتبط در آزمونهای غیرپارامتری -به عنوان مثال- معرفی میشود.

 اما به هر حال: اگر تمام میانگین های جامعه واقعاً برابر باشد ، احتمالاً در میانگین نمونه ای از این جامعه تفاوت کمی پیدا خواهیم کرد. با این حال ، بعیداست میانگین نمونه تفاوت زیادی داشته باشد. این نشان می دهد که میانگین جامعه مساوی نیست.

 اندازه گیری های مکرر ANOVA اساساً به ما می گوید که چقدر احتمال دارد میانگین نمونه متفاوت باشد اگر میانگین ها در کل جامعه برابر باشد.

مفروضات - اندازه گیری های مکرر ANOVA

  • مشاهدات مستقل یا متغیرها مستقل و دارای توزیع یکسان؛
  • نرمال بودن: متغیرهای آزمون از توزیع نرمال چند متغیره در جامعه پیروی می کنند.
  • کروی بودن: واریانس تمام اختلاف مقادیر بین متغیرهای آزمون باید در جامعه برابر باشد. کروی بودن بعضی اوقات با آزمون Mauchly تست می شود. در صورت رد شدن کروی ، نتایج ممکن است با تصحیح Huynh-Feldt یا Greenhouse-Geisser اصلاح شوند.

ایده اساسی - اندازه گیری های مکرر ANOVA

 ما چندمثال  محاسباتی نشان میدهیم . اول ازهمه اندازه گیری های مکرر ANOVA اساساً چگونه کار می کند؟ اولاً ، متغیرهای نتیجه بین گروهی و درون گروهی متفاوت است. به این معنی که اختلاف بین گروهی و درون گروهی به مقدار مجموع اختلاف میان نمرات می افزاید. این مقداراختلاف با SStotalنشان داده می شود که SS مخفف “مجموع مربعات” است.

ثانیا، واریانس کل را به اجزا کوچک تقسیم کرده و بررسی خواهیم کرد که کدام یک از اجزا مربوط به چه مقدارواریانس است که در زیر توضیح داده شده است. توجه داشته باشید که “df” به معنای “درجات آزادی” است که بعداً به آن خواهیم رسید.

اکنون ، نمی خواهیم بدانیم  که چگونه مقادیر بین گروه ها متفاوت اند. بنابراین ما این واریانس را از واریانس کل حذف می کنیم و آن را نادیده می گیریم. پس فقط SSwithin (اختلاف بین گروه ها) داریم.

اختلاف بین گروه ها ممکن است تاحدی ناشی از متغیرهایی با میانگین مختلف باشد. این اختلاف میانگین مدل ما را تشکیل می دهند. SSmodel مقداراختلافی است که برای آن حساب می شود.

 مدل ما معمولاً همه تغییرات بین مقادیر درون گروهی را در بر نمی گیرد. SSerror مقدار واریانسی است که مدل ما آن را حساب نمیکند.

درنهایت می خواهیم دو مدل واریانس را با هم مقایسه می کنیم: اگر SSmodel بزرگ و SSerror کوچک باشد ، اختلاف بین گروهی بیشتر به مدل ما بستگی دارد (شامل میانگین متغیرهای مختلف) این منجر به مقدار F بزرگی می شود که بعید به نظر می رسد میانگین جامعه واقعاً برابر باشد. در این حالت ، ما فرضیه صفر را رد می کنیم و نتیجه می گیریم که میانگین جامعه برابر نیست.

فرمول های اساسی - اندازه گیری های مکرر ANOVA

ما در فرمول های خود از علامت گذاری زیر استفاده خواهیم کرد:

  • n تعداد گروه ها را نشان می دهد.
  • k تعداد متغیرها را نشان می دهد.
  • Xij شماره متغیر j درگروه iiنشان می دهد.
  • .Xiمیانگین گروه i را نشان می دهد.
  • Xj.میانگین متغیرj را نشان می دهد.
  • ..xمیانگین کل را نشان می دهد.

فرمول های مجموع مربعات ، درجات آزادی و مربعات عبارتند از

SSwithin=∑i=1n∑j=1k(Xij−Xi.)2

 

SSmodel=n∑j=1k(X.j−X..)2

 

SSerror=SSwithin−SSmodel

 

dfmodel=k−1

 

dferror=(k−1)⋅(n−1)

 

MSmodel=SSmodeldfmodel

 

MSerror=SSerrordferror

 

F=MSmodelMSerror

مثال - اندازه گیری های مکرر ANOVA

ما 10 نفر داشتیم که چهار گروه کاری را انجام می دهند. داده های جمع آوری شده در جدول زیر ذکر شده است. ما می خواهیم بدانیم که میانگین رکوردهای جامعه برای هر چهار گروه برابر است

SUBJECT

TASK1

TASK2

TASK3

TASK4

SUBJECT MEAN

1

8

7

6

7

7

2

5

8

5

6

6

3

6

5

3

4

4.5

4

6

6

7

3

5.5

5

8

10

8

6

8

6

6

5

6

3

5

7

6

5

2

3

4

8

9

9

9

6

8.25

9

5

4

3

7

4.75

10

7

6

6

5

6

Variable Mean

6.6

6.5

5.5

5

5.9 (grand mean)

اگر فرمول را برروی داده های نمونه خود اعمال کنیم ، دریافت خواهیم کرد که : 

SSwithin=(8−7)2+(7−7)2+…+(5−6)2=63.5SSwithin=(8−7)2+(7−7)2+…+(5−6)2=63.5

SSmodel=10⋅((6.6−5.9)2+(6.5−5.9)2+(5.5−5.9)2+(5−5.9)2)=18.2

SSerror=63.5−18.2=45.3

MSmodel=18.23=6.07

MSerror=45.327=1.68

F=6.071.68=3.62

P(F(3,27)>3.62)≈0.026

فرضیه صفر معمولاً هنگامی رد می شود که p<0.05 باشد. نتيجه گيري: میانگین جامعه احتمالاً برابر نبوده.

اندازه گیری های مکرر ANOVA در نرم افزار

ما همه مثال رادرthe Googlesheet محاسبه میکنیم که در زیر نشان داده شده. این برای همه خوانندگان قابل دسترسی است ، بنابراین در صورت تمایل می توانید نگاهی به فرمول های استفاده شده بیندازید.

اگرچه می توانید آزمون را در the Googlesheet اجرا کنید ، اما احتمالاً می خواهید برای اجرای یک اندازه گیری مکرر ANOVA از یک نرم افزار مناسب استفاده کنید. به طور پیش فرض در SPSS موجود نیست ، مگر اینکه گزینه آمار پیشرفته را نصب کنید. یک نمونه برجسته از اندازه گیری های مکرر ANOVA در SPSS ،در قسمت آموزش اندازه گیری های مکرر ANOVA در SPSS آمده است 

 شکل زیر خروجی SPSS را برای مثالی که در این آموزش اجرا کردیم نشان می دهد.

فاکتور های اندازه گیری های مکرر ANOVA

تاکنون ، بحث ما محدودبه اندازه گیری مکرر ANOVA  یک طرفه با یک عامل درون گروهی بود. ما به راحتی می توانیم آن را به یک فاکتوریل اندازه گیری مکرر ANOVA با یک عامل درون گروهی و یک عامل برون گروهی فاکتورها بسط دهیم. ایده اصلی در زیر نشان داده شده است. برای یک مثال خوب در SPSS ، به اندازه گیری های مکرر ANOVA در SPSS مثال 2 مراجعه کنید.

ازطرف دیگر، ما می توانیم مدل خود را به دو فاکتوریل اندازه گیری مکرر ANOVA با 2 عامل درون گروهی بسط دهیم. شکل زیر ایده اصلی را نشان می دهد.

سرانجام ، می توانیم مدل خود را به (+)3روش تجزیه و تحلیل ANOVA گسترش دهیم. (اگر مدل ما حداقل شامل 1 عامل درون گروهی باشد، در مورد “اندازه گیری های مکرر ANOVA “صحبت می کنیم)

امیدوارم این آموزش برخی از اصول اندازه گیری مکرر ANOVA را روشن کرده باشد.