نمرات z_ چرا و چگونه؟
نمرات Z نمره هایی هستند که میانگین آنها 0 است و انحراف معیار = 1. نمرات Z همچنین به عنوان نمرات استاندارد شناخته می شوند. آنها نمرات (یا مقادیر داده ای) هستند که استاندارد مشترکی به آنها داده شده است. این استاندارد میانگین صفر و انحراف معیار 1 است.
برخلاف آنچه بسیاری از مردم معتقدند، نمرات z لزوماً به طور نرمال توزیع نمی شوند.
مثال نمرات Z
یک گروه 100 نفره تست IQ را انجام دادند. نمره من 5 بود. پس این خوب است یا بد؟ در این مرحله، هیچ راهی برای گفتن وجود ندارد، زیرا ما نمی دانیم افراد به طور معمول در این آزمون چه نمره ای می گیرند.
با این حال، اگر نمره 5 من با نمره z 0.91 مطابقت داشته باشد، می دانید که بسیار خوب است، تقریباً یک انحراف استاندارد بالاتر از میانگین است (که برای نمرات z همیشه صفر است)
آنچه در اینجا می بینیم این است که استاندارد سازی نمرات تفسیر نمره یک آزمون را تسهیل می کند. بیایید ببینیم که چگونه کار می کند.
نمودار هسیتوگرام
نگاهی گذرا به برخی از 100 نمره در اولین آزمون ضریب هوشی ما حداقل 1 و حداکثر 6 را نشان می دهد. با این وجود، با بازبینی هیستوگرام آنها، اطلاعات بسیار بیشتری را در مورد نمرات در زیر کسب خواهیم کرد.
هیستوگرام تایید می کند که نمره ها از 1 تا 6 است و هر یک از این نمرات تقریبا برابر اتفاق می افتد. این الگو به عنوان یک توزیع یکنواخت شناخته می شود و به طور معمول وقتی این مقدار را می بینیم که تعداد دفعات زیادی تاس را پرتاب کنیم :عدد 1 تا 6 با اندازه احتمال برابر ظاهرمی شود. توجه داشته باشید که واضح است این نمرات به طور نرمال توزیع نمی شوند.
نمرات z استاندارد شده
ما قبلا پیشنهاد کردیم که دادن نمرات یک استاندارد مشترک از میانگین صفر و انحراف معیار مشترک تفسیر را آسان می کند. ما فقط می توانیم این کارهای زیر را انجام دهیم:
1-ابتدا میانگین کل نمرات را از هر نمره کم کنید
2-عدد باقیمانده را در هر نمره بر انحراف معیار تقسیم می کنیم.
این دو مرحله همان فرمول نمره z است.
همانطور که در جدول زیر نشان داده شده است، 100 نمره ما میانگین 3.45 و انحراف معیار ما 1.7 دارند.
با وارد کردن این اعداد به فرمول، می فهمیم که چرا نمره 5 با نمره z 0.91 مطابقت دارد:
Zx=5−3.45/1.70=0.91
به روشی مشابه، تصویر زیر نمرات z را برای تمام مقادیر متمایز اولین تست ضریب هوشی ما که به داده ها اضافه شده است، نشان می دهد.
نمرات Z_هیستوگرام
در عمل، بدیهی است که برخی نرم افزارها، نمرات z را برای ما محاسبه می کنند. ما این کار را کردیم و یک هیستوگرام روی نمرات z خود اجرا کردیم که در زیر نشان داده شده است.
اگر خوب دقت کنید، متوجه می شوید که نمرات z در واقع میانگین صفر و انحراف معیار 1 دارند. به غیر از این،نمرات z دقیقاً همان توزیع نمرات اصلی را دنبال می کنند. یعنی استاندارد سازی نمرات به هیچ وجه توزیع آنها را “نرمال تر” نمی کند.
تبدیل خطی چیست؟
نمرات Z نمرات تبدیل شده خطی هستند. منظور ما از این امر این است که اگر ما یک نمودار پراکنش از نمرات در مقابل نمرات z را اجرا کنیم، همه نقاط دقیقاً روی یک خط مستقیم قرار می گیرند (از این رو، “خطی”گوییم). نمودار پراکنش زیر این را نشان می دهد. این نمودار شامل 100 نقطه است اما بسیاری از آنها درست روی هم قرار می گیرند.
به همین ترتیب، اگر نمرات را در مقابل مربع نمرات رسم می کردیم، خط ما منحنی بود. در مقایسه با استاندارد سازی، قرار دادن مربع یک تبدیل غیر خطی است.
نمرات Z و توزیع نرمال
قبلاً دیدیم که استاندارد سازی نمرات به هیچ وجه شکل توزیع آنها را تغییر نمی دهد. توزیع زیاد یا کم “نرمال” نمی شود. بنابراین چرا مردم نمرات z را به توزیع های نرمال مرتبط می کنند؟
دلیل این امر ممکن است این باشد که بسیاری از متغیرها واقعاً از توزیع های نرمال پیروی می کنند. با توجه به قضیه حد مرکزی، این خصوصاً برای آماره های آزمون صدق می کند. اگر یک متغیر توزیع شده نرمال، استاندارد شود،از توزیع نرمال استاندارد پیروی می کند.
این یک روش رایج در آمار است زیرا مقادیری که (تقریبا) از توزیع نرمال استاندارد پیروی می کنند به راحتی قابل تفسیر هستند. به عنوان مثال، به خوبی شناخته شده است که 2.5٪ مقادیر بزرگتر از دو و 68٪ مقادیر بین 1 تا 1- هستند.
هیستوگرام زیر این را نشان می دهد: اگر یک متغیر تقریباً به طور نرمال توزیع شود، نمرات z تقریباً از توزیع نرمال استاندارد پیروی می کنند. برای نمرات z، همیشه (طبق تعریف) این نتیجه را می گیریم که نمره 1.5 به معنی “1.5 انحراف استاندارد بالاتر از حد متوسط” است. با این حال، اگر یک متغیر نیز از توزیع نرمال استاندارد پیروی کند، پس می دانیم که 1.5 تقریباً با صدک 95 ام مطابقت دارد.
نمرات Z در SPSS
کاربران SPSS به راحتی می توانند با استفاده از دستور DESCRIPTIVES با descriptivesin test_1 test_2/save نمرات zرا به داده های خود اضافه کنند که “ذخیره” به معنای \”ذخیره نمرات z به عنوان متغیرهای جدید در داده های من\” است. برای جزئیات بیشتر، به نمرات z-scores in SPSS.مراجعه کنید.